Граница классической ленты Мёбиуса — полоски, перекрученной на полоборота, — является незаузленной кривой, т. е. топологически эквивалентна окружности. Интерактивная демонстрация https://etudes.ru/models/Mobius-strip-sudanese/ , в частности, показывает, как эту границу можно преобразовать в честную окружность, растягивая саму полоску. Представленное вложение «Sudanese Möbius strip» примечательно не только тем, что при нём граница ленты Мёбиуса является окружностью, но и своей симметричностью и геометричностью.
Мёртвая петля (по-английски loop-the-loop) — прибор, являющийся неотъемлемой частью демонстрационных кабинетов с середины XIX века и основой популярных аттракционов .
Исторически, в первых экспонатах запускали не шарик, а тележку (иногда с водой!). И не случайно модель называлась centrifugal railway. Газетные объявления 1840-х годов описывают большую дорогу для публичных катаний в Манчестере и Ливерпуле: съезжая по ней в тележке, посетители могли пройти мёртвую петлю. А не позднее 1850-х годов этот экспонат уже встречается в каталогах учебного оборудования.
Модель простая, но даёт возможность повычислять. Посмотреть, при каких размерах шарика и петли и при каком начальном положении шарик пройдёт полную петлю, оторвётся при подъёме или будет качаться в нижней половине петли. Убедиться, что масса шарика не влияет на то, какой из этих случаев реализуется. Посмотреть, чем в этой задаче идеальное скольжение отличается от качения шарика, и посчитать, как на ответ влияет трение.
Сегодняшняя суббота, 24.10.26, — математическая!
Это последняя дата в XXI веке, являющаяся пифагоровой тройкой: 24^2+10^2=26^2!
В следующий раз такое наступит 5 апреля 2103 года, а если требовать, чтобы год был гипотенузой, то 4 марта 2105 года.
(Спасибо Нестору Говорко, что обратил внимание.)
Два одинаковых круга, вставленные друг в друга под прямым углом, — очень простая конструкция. Но её выпуклая оболочка — олоид — обладает несколькими занимательными свойствами, которые можно узнать из сюжета https://etudes.ru/models/oloid/ .
Это наш первый фильм, созданный с использованием искусственного интеллекта.
В большинстве случаев для создания видео используют специальные нейронные сети, которые сразу рисуют 2D-картинку. В экспериментах по такой технологии мы пока не смогли добиться математической точности происходящего.
Мы пошли другим путём. В данном случае современный ИИ написал сцену программы Maxon Cinema4D, которую мы используем для создания наших видео с 2002 года. ИИ создал объекты, рассчитал их движение и представил его так, как это принято в приложении, расставил источники освещения и смоделировал движение камеры. Конечно, потом сцена была подправлена под то, как считаем чуть лучше, под наш стиль. Но если раньше всё приходилось делать руками, то теперь сильный ИИ помогает и в этом.
Кривая Вивиани https://etudes.ru/etudes/Viviani-curve/ является прообразом параболы при ортогональной проекции, гиперболы и лемнискаты Бернулли — при центральных проекциях. Получается она как пересечение сферы с цилиндром или конусом, а на глобусе отвечает точкам, имеющим одинаковую широту и долготу.
edited
Прошёл год https://t.me/EtudesRu/814 с открытия нового сайта журнала «Квант» https://www.kvant.digital/ .
Теперь выложены все вышедшие номера, начиная с первого номера 1970 года https://www.kvant.digital/issues/.
Роспись статей насчитывает более 9,5 тысяч записей https://www.kvant.digital/articles/?order=chronoasc ; продолжается процесс сверки и исправления единичных ошибок. Указатель персоналий https://www.kvant.digital/indices/personalia/ содержит около 4 тысяч авторов; идёт процесс создания кратких биографических справок. Во всех списках предусмотрена возможность упорядочивать различными способами, например так https://www.kvant.digital/indices/personalia/?order=cntdesc .
Отдельное внимание было уделено Задачнику «Кванта» — предлагавшиеся задачи решали во многих уголках нашей страны https://www.kvant.digital/problems/solvers/geo/ (если вы или ваши родители присылали решения в журнал можно попробовать найти фамилию в списке приславших решения https://www.kvant.digital/problems/solvers/ или поиском по всем изображениям https://www.kvant.digital/issues/. В задачах по математике больше половины условий уже представлены в текстовом виде https://www.kvant.digital/problems/math/ , некоторые и с текстовыми решениями. Спасибо студентам и преподавателям-организаторам математического факультета ВШЭ!
За прошедший год качество результатов, выдаваемых ИИ, существенно возросло. Надеемся, что скоро все накопленные бесценные материалы будут представлены в удобном текстовом виде, а журнал будет и дальше продолжать радовать интересными статьями!
Последний «Математический вторник» сентября: лемниската Бернулли может быть получена как сечение тора.
Уходящий сентябрь ознаменовался несколькими знаковыми юбилеями.
15 сентября исполнилось 100 лет Жану-Пьеру Серру — одному из величайших математиков XX века, «самому молодому и самому старому» лауреату Филдсовской медали. Несколько ссылок: выступление Серра на конференции его 100-летия, свежее интервью, рассказ о нём и его топологических результатах.
17 сентября исполнилось 200 лет со дня рождения Бернхарда Римана. В собрании сочинений Римана есть статьи «О механизме уха», «К теории цветных колец Нобили», «Новая теория остаточного заряда...». И, конечно же, его лекция «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», заложившая основы римановой геометрии.
19 сентября исполнилось 60 лет заведующему Отдела алгебраической геометрии МИАН Дмитрию Олеговичу Орлову, прошла конференция «Современная алгебраическая геометрия».
20 сентября исполнилось 20 лет проекту Василия Бусева https://www.mathedu.ru/ !
Сферический глобус — хорошее приближение формы нашей Земли. Какой кратчайший путь на глобусе между двумя городами? А как он выглядит на карте? Какие самые длинные «прямые» морской и сухопутный пути на Земле?
Ответы на эти вопросы представлены в обновлённом сюжете «Земные пути».
Приятно, что рядом есть удивительная молодёжь, с чьей простой, но великой идеи, можно начать новый (учебный) год «Математических вторников».
Лента Мёбиуса является односторонней неориентируемой поверхностью с краем, а также популярным и узнаваемым математическим объектом. Существует ли такое вложение ленты Мёбиуса в трёхмерное пространство, при котором её граница была бы плоской кривой? А окружностью?
В XX веке единственным примером вложения, в котором край есть честная окружность, служила так называемая «Sudanese Möbius strip». При этом сама эта поверхность довольна сложна для восприятия и понимания.
Представляем простой и наглядный пример вложения ленты Мёбиуса, придуманный Василием Рождественским, при котором вся граница лежит в одной плоскости и, следовательно, незаузлена. Применив воображение, несложно непрерывно продеформировать (без самопересечений) эту модель так, чтобы граница стала честной окружностью.
Маятник Фуко позволяет увидеть (не глядя на неподвижные звёзды!) вращение Земли вокруг своей оси: маятник последовательно сбивает предметы, расставленные по кругу, а значит, поворачивается относительно пола.
Как связаны вращение Земли вокруг оси и поворот плоскости колебаний маятника Фуко? Почему на полюсе маятник Фуко делает полный оборот за сутки, а на экваторе его плоскость колебаний вращаться не будет? Какую часть круга заметёт за сутки маятник Фуко, находящийся на данной широте? Наглядный и запоминающийся ответ на эти вопросы даёт геометрический подход, представленный в фильме «Маятник Фуко».
Правило для запоминания: на данной параллели маятник Фуко за сутки заметает сектор, являющийся развёрткой конуса, касающегося сферы по этой параллели. Объяснение для интересующихся: поворот маятника Фуко — это параллельный перенос (в смысле дифференциальной геометрии) вектора вдоль параллели — замкнутого пути, не являющегося кратчайшим на сфере.
Этим фильмом «Математические вторники» 2025/2026 завершаются.
Про неевклидову геометрию Математические этюды уже сделали несколько красивых сюжетов
https://etudes.ru/etudes/@non-euclidean-geometry
https://etudes.ru/models/@non-euclidean-geometry
Про геометрию Лобачевского написано много текстов. Тем удивительнее, что главный редактор журнала «Квант» Александр Александрович Гайфуллин, в связи с 200-летием первого доклада Николай Ивановича, написал новую, очень интересную и содержательную статью, вышедшую в журнале во 2 и 3 номерах за этот год
https://www.kvant.digital/issues/2026/2/gayfullin-dva_veka_geometrii_lobachevskogo-c7aeef50/
https://www.kvant.digital/issues/2026/3/gayfullin-dva_veka_geometrii_lobachevskogo-022b1500/
Поздравляем Павла Александровича Кожевникова с юбилеем!
(Которые, как известно, случаются каждые 50 лет.)
ПалСаныч понимает и умеет раскрывать математическую суть рассматриваемой задачи на любом уровне – неподготовленным школьникам и школьникам-участникам международной математической олимпиады, учителям математики и профессиональным математикам. Посмотрите записи его докладов и его статьи!
Счастья и почаще улыбаться!
edited
Команда из Математического института им. В.А. Стеклова РАН под руководством заместителя директора по научной работе члена-корреспондента РАН Сергея Олеговича Горчинского с сентября 2026 года открывает новую группу бакалавриата воспитания будущих математиков в стиле эпохи Возрождения
https://www.hse.ru/ba/ami/mplusplus
Несмотря на то, что «территориально» поток М++ открывается на базе Факультета компьютерных наук ВШЭ, он рассчитан на студентов, желающих трудиться и заниматься настоящей математикой – серьёзной, абстрактной, теоретической, …, а не её приложениями.
Первый набор на первый курс – этим летом. Как всё сложится – конечно, никто не знает. Но квалификация коллег, участвующих в задумке, и как математиков, и как преподавателей, не подлежит сомнениям. Записи их лекций можно найти на многих сайтах, в частности, среди записей школы «Современная математика» в Дубне. А желание коллег сделать действительно хорошее университетское разностороннее математическое образование, их взаимодействие друг с другом при обсуждении будущих курсов, поддержка команды руководством факультета, а также многолетняя человеческая забота Сергея Олеговича о подрастающем поколении дают уверенность, что студенты заведомо не будут брошены и всё получится наилучшим образом!
Развёртки позволяют не только лучше понять стереометрическую фигуру, но и, например, посчитать площадь боковой поверхности. А если развёртки ещё и оживить https://etudes.ru/models/solid-figures-threaded-net/ ...
Представленные конструкции – лишь примеры. Использовать лучше плотную бумагу, которая держит форму. Читатель может попробовать анимировать и другие развёртки куба, развёртки других многогранников или фигур.
Вне зависимости от количества вершин сумма внешних углов в любом выпуклом многоугольнике на плоскости одна и та же и равна 360 градусов.
Нарисуем на плоскости многоугольник и раскрасим его внешние углы. Отдалим плоскость от наблюдателя: многоугольник будет видеться точкой, а точки всей остальной плоскости будут окрашены каким-то одним из цветов. Внешние углы составят полный угол — 360 градусов.
Это и другие иллюстрации-доказательства — как классические, так и менее известные —представлены красивыми анимациями в сюжете «Сумма внешних углов выпуклого многоугольника».
edited
Штатный краснодеревщик нашей Лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института им. В.А. Стеклова РАН Александр Лещинский придумал простую в изготовлении, но удивительно наглядную модель, демонстрирующую форму Земли: силиконовый шарик, надетый на верёвочную петлю https://etudes.ru/models/Earth-figure/ .
Идея модели основана на игрушке из детства — пуговице на закрученной верёвочке, и уже встречалась у нас в сюжете «Гиперболоид: пуговица на верёвочке». Растягивая руками петли верёвочки, вы заставляете пуговицу вращаться. Если приноровиться и вовремя «давать слабину», позволяя верёвочке закрутиться в другую сторону, в эту игрушку можно играть непрерывно.
В небольшом силиконовом шарике следует сделать два отверстия, параллельных друг другу и отстоящих от диаметра на одно и то же расстояние; продеть через них верёвочку и завязать её в петлю. Модель готова. В процессе демонстрации, в момент, когда петля скручена максимально, шарик, меняя направление, останавливается и приобретает форму шара. Когда вы растягиваете верёвочную петлю, скорость вращения увеличивается, и шарик принимает форму эллипсоида вращения, сжатого вдоль оси вращения.
Напомним, что «Математические вторники» проекта «Математические этюды» https://etudes.ru/ ведутся в канале Телеграм, ВК https://vk.com/etudesru , а теперь ещё и в MAX https://max.ru/etudesru .
edited
Обновился сюжет «Календарь-головоломка» https://etudes.ru/models/puzzle-calendar/ , рассказывающий о нашем варианте вечного календаря, который очень понравился многим счастливым обладателям.
В приведённом календаре можно собрать 2604 комбинаций число-месяц-день. Из них реально встречаются 366*7 =2562 и чем меньше вариантов сложить заданную дату, тем головоломка сложнее. У 42 комбинаций есть только единственный способ их сложить, по два варианта — у 16 дат. Не более 10 способов укладки допускают 781 комбинация. Самых простых дат — с наибольшим числом вариантов сложить: 50 вариантов — одна дата, 55 вариантов — четыре даты, 68 вариантов — четыре даты.
Теперь, прежде чем складывать, вы можете оценить сложность сложить выбранную комбинацию, например сегодняшний день, посмотрев на сайте количество вариантов сложить конкретную дату!
Поиграться в большой настенный календарь можно на третьем этаже МЦНМО, а небольшой картонный вариант календаря можно найти в их магазине.
edited
Возьмите прямоугольный лист бумаги, например А4, и, прежде чем переходить по ссылке, попробуйте сделать из него тетраэдр. Не обязательно правильный, но так, чтобы прямоугольник был именно его развёрткой: в получившемся тетраэдре не должно быть наложений слоёв бумаги.
Самый простой способ можно посмотреть в новом фильме «Тетраэдр из… прямоугольника» https://etudes.ru/etudes/tetrahedron-rectangle-net/ .
А какие ещё многогранники кроме тетраэдра можно сложить из прямоугольного листа бумаги? Подумать над этим вопросом помогут фильмы «Вершины многогранника», «Развёртка», «И это развёртка?!», а также брошюра Н. П. Долбилина «Жемчужины теории многогранников». Ответ будет в одном из следующих фильмов.
В преддверии 8 марта традиционно пополнился раздел «Математические украшения».
Задача квадрирования квадрата — разрезания квадрата на неравные квадраты — проста по постановке, но нетривиальна математически. Решение этой задачи может стать как основой головоломок, так и идеей для создания украшений https://etudes.ru/models/squaring-the-square-pendant/ .
Кулон, показывающий квадрирование квадрата, привлекает внимание — возникает желание посчитать количество квадратиков, обсудить саму задачу и оптимальность решения. А исполнение перекликается со способом решения задачи — теорией электрических цепей.
