Тренды и Трейды

3. Долгосрочная бескупонная облигация Если кто то ( например, счетовод с какой нибудь биржи) в вашем присутствии задаст вопрос или начнет дискуссию «зачем для длинной бескупонной облигации использовать формулу YTM, ведь там нет купонов, «нечего реинвестировать» » , вы уже достаточно хорошо вооружены чтобы в ответ удивленно вскинуть брови: - Реинвестировать? А потом моментально испепелить взглядом: - А дисконтировать есть что ? А если найду ? Вот и дисконтируйте. Ибо , напоминаю, что YTM (она же – «доходность к погашению», она же – «Yield to Maturity») - это часть дисконтирующего будущие денежные потоки фактора, который подбирается так, чтобы сумма сегодняшних ценностей всех будущих потоков по облигации равнялась ее «грязной» или полной цене ( т е цене облигации+ накопленный купон). На этом можно и закончить. Но давайте прокачаем скиллы дальше , а заодно вобьем осиновый кол в «простую» доходность для длинных облигаций. Где простая доходность теряет смысл ? Возьмём бескупонную облигацию с номиналом 100, ценой 50 и сроком до погашения пять лет. «Простая» доходность равна: y_simple = ((100 − 50) / 50) / 5 = 20% Формально это означает: за пять лет инвестор заработал 100% на вложенный капитал, и этот общий результат линейно распределен по времени — по 20% исходного капитала на каждый год. Но 20% здесь не является постоянной годовой ставкой роста капитала. Если искусственно распространить логику данной формулы,то траектория условной накопленной стоимости по годам выглядела бы так: 50 => 60 => 70 => 80 => 90 => 100 Но относительно уже накопленной стоимости годовой прирост будет постоянно падать: 60/50-1 = 0.2 (20%) , 70/60-1 = 0.167 (16.7%) ………. 100/90-1 = 0.111 (11.1 %) «Условная стоимость по траектории «простой» доходности» здесь - это не прогноз рыночной цены облигации в промежуточные даты: реальная цена зависит от кривой ставок, кредитного спреда, ликвидности и других факторов. Это лишь демонстрация того, что простая доходность с ее логикой просто поделить общий прирост капитала на количество лет (де факто – равномерно распределить прибыль на каждый год) не задаёт одну постоянную годовую норму доходности на длинном горизонте. Временная несогласованность «простой доходности». Есть и более строгий аргумент. Предположим, «простая» доходность равна 20% годовых. Если применить её к 10-летнему горизонту, накопительный множитель равен: X(10) = 1 + 0.20 × 10 = 3.0 То есть 1 рубль должен превратиться в 3 рубля за десять лет. Но если разбить те же десять лет на два последовательных пятилетних периода с той же simple rate, то за каждый из периодов получится: X(5) = 1 + 0.20 × 5 = 2.0 Два последовательных периода должны дать: X(5) × X(5) = 2.0 × 2.0 = 4.0 Одна и та же ставка даёт множитель 3.0 на десять лет и 4.0 при разбиении тех же десяти лет на два пятилетних отрезка. Следовательно, простая «ставка» не обладает временной согласованностью: одна и та же ставка не задаёт единый закон роста независимо от разбиения горизонта. Постоянный годовой темп: доходность «сложного процента» или «сложная» доходность. Правильный вопрос для длинной бескупонной облигации звучит так: какая постоянная годовая ставка превращает цену P сегодня в выплату F через Х лет? P× (1 + y)^Х = F => y = (F/P)^(1/X) -1 где X – это сколько лет осталось до погашения. Меняем X на (d/D) т е количество дней до погашения d деленное на количество дней в году в текущей конвенции D (360 , 365 или действительное ): y = (F/Р)^(D/d) -1 Для уже знакомой нам 5летней бескупонной облигации с ценой 50% от номинала это выглядит буквально так: 50 × (1 + y)^5 = 100 y = (100 / 50)^(1/5) − 1 = 14.87% «Сложная» доходность не говорит, что облигация фактически гасится каждый год, а инвестор покупает новую бумагу по той же ставке. Это лишь постоянная годовая ставка, эквивалентная текущему отношению цены и выплаты. В отличие от «простой» доходности, сложная ставка временно согласована: (1 + y)^10 = (1 + y)^5 × (1 + y)^5 Десятилетний результат при постоянной «сложной» доходности точно равен результату двух последовательных пятилетних периодов под той же ставкой. 4. И снова YTM Напишем формулу YTM для произвольных , а не только периодических купонов : P_dirty = Σ[i = 1…N] CF_i / (1 + y)^(d_i/D), где CF_i — i-й будущий денежный поток; d_i — время до него в днях; D — количество дней в году по данной конвенции; y - аннуализированная YTM. Для бескупонной облигации: N = 1, CF_1 = F, d_1 = d, P_dirty = P (нет накопленного купона) Учитывая это, получаем:: P = F / (1 + YTM)^(d / D) YTM = (F / P)^(D / d) – 1 где F — выплата при погашении; P — текущая цена; d — число дней до погашения; D — число дней в годовой базе. Формула «доходности сложного процента», которую для бескупонной облигации мы вывели исходя из экономической логики, совпала с YTM , упрощенной для такого случая. Что не удивительно – ибо экономическая логика заложена одинаковая. То есть мы абсолютно корректно можем сравнивать YTM купонных облигаций со «сложной» доходностью бескупонной облигации, так как второе есть просто частный случай первого. Мы вполне комфортно можем располагать бескупонные и купонные облигации с их доходностями, посчитанными вышеуказанным способом, на одной карте долгового рынка. Что не верно для YTM и «простой» доходности – это будет сравнение помидоров с апельсинами. На этом путаница распутана. Открываем шампанское. Что ещё важно. «Простая» доходность вторглась на территорию длинных бескупонных облигаций всего-навсего из-за неправильной интерпретации дисконтирующей природы формулы YTM — истории про магическое реинвестирование купонов. А дальше — помните? — «нет купонов, значит, нечего реинвестировать». Но YTM не про купоны и не про их «реинвестирование». YTM — про дисконтирование всех будущих денежных потоков. Частная удобная интерпретация про «реинвестирование» оказалась принята за определение — и дальше логика поехала не туда. Поэтому всегда надо помнить и следовать базовому смыслу формулы, а не ее популярной адаптации. Дальше будет бонус трек.