Мне потребовалось 3 года, чтобы задать этот вопрос и пара секунд, чтобы получить ответ: Termin vereinbaren — это «договориться о встрече / записаться на приём», то есть назначить конкретную дату и время (по телефону, онлайн, по почте). Формулировка нейтральная и самая обычная в быту и у врачей/сервисов: Ich möchte einen Termin vereinbaren. Termin beantragen — буквально «подать заявление/запрос на назначение термина». Обычно звучит более бюрократически и подразумевает, что: • вы не выбираете время напрямую, а подаёте запрос, • и учреждение потом назначает/подтверждает термин (или ставит вас в очередь). На практике: • у врача, в сервисе, в банке почти всегда: Termin vereinbaren / einen Termin machen. • в ведомствах, где есть формальная процедура или очередь, иногда встречается: Termin beantragen (или близко по смыслу: einen Termin anfragen / Termin beantragen und Bestätigung abwarten). Если сомневаетесь, почти всегда безопаснее сказать Termin vereinbaren.